Kunst & håndverk og matematikk
Noen vinklinger på målestokk
nr 2 - 2004, s 12 - 15
Av Errol Fyrileiv
Høgskolelektor i kunst & håndverk, Høgskolen i Tromsø
Vi mennesker har alltid hatt en trang til å utforske verden rundt oss. Vi har gjengitt, ordnet og systematisert våre observasjoner og inntrykk for å forstå og trenge inn i den verden vi er en del av. Vi har risset tegn, bilder og symboler i stein og leire for å avbilde det vi har sett og etter hvert utviklet matematikk for å strukturere våre observasjoner. Vi erfarer i dag at det kan være en nær sammenheng mellom aktiviteten "det å formgi" - og det å strukturere formgivende elementer ved bruk av "matematiske lover".

Matematikk kan vinkles som et praktisk redskap, som også har estetiske sider. Geometrien er en del av matematikken som dreier seg om å danne og bruke visuelle forestillinger. Læreplanen legger til grunn for en forståelse, der geometrien blir et område for utfoldelse av fantasi og formsans – en forståelse som vi lærere bør kunne utnytte i forbindelse med kunst & håndverksfaget.
Både kunst & håndverk og matematikk har utviklet seg gjennom mange kunnskapsområder. Det er ikke alltid nødvendig å si "nå arbeider vi med geometri" eller nå arbeider vi med "kunst & håndverk". Det kan være flere disipliner og begrep som veves sammen i en aktivitet som kan være mer eller mindre matematisk og formgivende i sitt innhold. Det som er av interesse for læreren er å kunne organisere situasjoner og materialer som kan gi muligheter for matematiske og formgivende erfaringer og få syne på det matematiske i formgivingen eller motsatt. ( Furness, Anthony: 1998, s.66)

I denne artikkelen ønsker jeg å rette oppmerksomheten på et tema som er like aktuelt for kunst & håndverk som matematikkfaget, nemlig målestokk. Grunnen er at jeg opplever påfallende lite bevisstliggjøring om målestokk som tema i kunst & håndverksfaget. Det arbeides mye med problemstillinger knyttet til innhold og uttrykk, og ulike bearbeidingsmetoder, kanskje på bekostning av formalestetiske problemstillinger som er like viktige, som for eksempel størrelsesforhold, formatets potensielle virkning og undersøkende arbeid med målestokk.
(I artikkelen brukes benevnelsen kunst & håndverk, men arbeidet med målestokk kan tilpasses alle utdannelsestrinn fra aktiviteter i førskolen til lærerutdanningen.)

Målestokk som matematisk begrep
De som har bygget modellfly eller båter har sikkert lagt merke til at det står noen tall utenpå esken. Disse tallene angir målestokken. Målestokk brukes på modeller av bygninger, skulpturer, kart, arbeidstegninger og lignende. Målestokken uttrykker et forhold mellom størrelsen på modellen og størrelsen på det virkelige.

Dersom en modell har målestokk 1:10 (leses: en til ti) betyr det at 1 lengdeenhet på modellen er ti lengdeenheter i virkeligheten. På et kart med målestokk 1:10000 er 1 cm på kartet lik 10000cm = 100m i terrenget. Vi bruker deletegn for å uttrykke målestokken. Dersom målestokken er mindre enn 1, for eksempel 1:2 betyr det at modellen er mindre enn virkeligheten. Dersom vi har målestokk 1:1 betyr det at modell og virkelighet er like store. Hvis målestokken er større enn 1, for eksempel 2:1 betyr det at modellen er større enn virkeligheten. Forstørring og forminskning henger derfor sammen med målestokk.
http://.matematikk.net/per/per_oppslag.php?eid=målestokk Dersom vi skal forstørre noe for eksempel 2 ganger sier vi at målestokken er 2:1, eller bare 2 (fordi 2:1 = 2).
Dersom vi skal forstørre en figur med faktor 2 måler vi lengdene på originalen og multipliserer disse med 2.

Ideen til figurene er hentet fra: http://matematikk.net/per/per_oppslag.php?
eid=forstørring-forminskning

Målestokk er et begrep vi bruker nokså ureflektert, men som omfatter flere kategorier. Lineær målestokk angir forholdet mellom korresponderende avstander. På et kart fortelles det alltid hvor lang en cm på kartet er i virkeligheten. Kartet oppgir den lineære målestokken. Arealmålestokk eller flatemålestokk angir forholdet mellom korresponderende flater. Fordobler vi en kakeoppskrift og tar en firkantet form som er maken til den vi pleier å bruke, bare med dobbelt så lange sider, får vi en veldig tynn kake. Hvis kaken skal være like høy som ellers, må vi firedoble oppskriften. Bruker vi en rund form, blir det like galt å fordoble radien, en kake eller pizza med dobbelt så stor radius som en annen, er mer enn dobbelt så stor. Forutsatt samme tykkelse, er det her flatemålestokken vi tenker på når vi snakker om dobbelt så stor. Volummålestokk angir tredimensjonal forstørrelse eller forminskning. (Herbjørnsen, Olga: 2000, s. 98)
Det som er blitt sagt over gjelder lineær forstørring & forminskning. Vi ser at når den lineære forstørrelsen er 2 får vi: Lengde a til 2a.
Arealmålestokk / flatemålestokk:
Dersom vi ser på figuren nedenfor ser vi at når den lineære forstørringen dobles vil arealet firedobles. Areal a i andre til 4a i andre.
Volummålestokk:
På samme måte vil volumet åttedobles. Volum a i tredje til 8a i tredje.

Tilsvarende gjelder det motsatte ved forminskning.
Kropp og målestokk
Målestokk har med relasjoner å gjøre- en størrelse i forhold til en annet. Vi mennesker relaterer oss til andre størrelser med utgangspunkt i vår egen . ( Barn/voksen, liten/stor ) Husker du da du var liten og alt rundt deg var så mye større. Jeg minnes at jeg som liten pleide å gå forbi en skulptur av en stor mann. Når jeg i dag går forbi den samme skulpturen virker den ikke så stor, mannen har liksom blitt mindre. Skulpturen har selvfølgelig samme størrelse som før, men jeg har vokst - dermed har størrelsesforholdet mellom meg og skulpturen forandret seg - den er blitt jevnet ut. Målestokken er 1:1.

Målestokk som symbol
All målestokk tar utgangspunkt i mennesket. "Demokratiske" skulpturer er måteholden i størrelse. Anne Berit Nedlands installasjon i kulturhuset i Tromsø er et eksempel på dette. Figurene er i målestokk 1:1 med mennesker, og vi kan lett identifisere oss med denne "humane" størrelsen.

Heltemonumenter- enten de er figurative eller abstrakt, har som regel større målestokk enn mennesker. Fangstmannen på torget i Tromsø, og Nobilemonumentet i Telegrafbukta er eksempler på maskuline kraftuttrykk. Annelise Josefsens skulptur utenfor Universitetsbiblioteket er også et kraftuttrykk – selv om det er en liten kvinneskikkelse i den store steinen. Vi kan vise tilbake til de store rytterskulpturene og triumfbuene som uttrykker makt og seier.
Gitte Dæhlin sine skulpturer inne i Universitetsbiblioteket er det motsatte – mennesker utført i materialer i Arte Poveras tradisjonen.
Innen arkitektur benytter man også målestokk for å skille mellom det mektige, og det hverdagslige. Tenk for eksempel på Pentagon i USA, Peters-kirken i Roma og pyramidene i Egypt. Ingen sammenligning for øvrig, men de har det til felles at de er og var tidens symboler på makt. I arkitektur kan vi også snakke om "guddommelige rom" og "verdslige rom". Når du går inn i en kirke åpner rommet seg i vid utstrekning - fremover, til sidene og oppover. Til sammenligning har de fleste av oss en bolig, der rommets utstrekning ikke har den samme målestokk........
Nobilemonumentet. Gitt av den italienske stat.
 Fisk og fangstmonumentet,
Sivert Donaly,1984-85.
© Sivert Donaly / BONO 2004
 © Annelise Josefsen / BONO 2004
Annelise Josefsen. Skulptur ved inngangspartiet til Universitetsbiblioteket
i Tromsø.
Det var, Gitte Dæhlin, 1984. © Gitte Dæhlin / BONO 2004
 Det kommer, Gitte Dæhlin, 1984.
Installasjon i Universitetsbiblioteket i Tromsø
© Gitte Dæhlin / BONO 2004
Forslag til tverrfaglige aktiviteter mellom kunst og håndverk og matematikk
Arbeidet med form og rom bør gjennomsyre aktivitetene. Formgivende arbeid som å male, tegne, bygge modeller- er en opplevelse i seg selv, både med materialet og tredimensjonalt i rommet eller todimensjonalt på papiret. Arbeidet med form er også et språk der elevene uttrykker og kommuniserer med seg selv og med andre. Det bør være et like selvskrevet medium i barnets arbeide som det verbale språket. (Furness, Anthony: 1998, s. 97) Det tredimensjonale arbeidet kan være å bygge modeller og geometriske former i leire, med klosser, eller kartong. Det todimensjonale arbeidet kan være å male, tegne, skape mosaikk med geometriske former. Eksemplene kan legges opp som et samarbeid mellom kunst og håndverk og matematikk. Felles planlegging og samarbeid mellom lærere i disse fagene er en fordel.

Eksempler på 3-dimensjonale aktiviteter:
- Sammenligne og prate om hverdagslige ting med ulike former- bolle, kopp, flaske, boks, esker og lignende.
- Lage 3-dimensjonale former - sylinder, kjegle, blokk og prismer i papir.
- Bygge med klosser av ulikt slag - store treklosser, lego, multilinkklosser, kartong osv.
- Bygge modeller - for eksempel med leire, tegnepapir, tynn kartong med utgangspunkt i nærmiljøet - hus, broer osv.
- Besøke en billedkunstner eller et arkitektkontor og erfare hvordan de arbeider med forminskning i fremstillingen av virkeligheten ved bruk av skisser, arkitekttegninger og modeller. Lage figurer og former som skal gjengi hus og bygninger i målestokk 1:100. Øve seg i å velge og bruke enheter for lengde, areal og volum og trene på å gjøre anslag om slike størrelser i situasjoner fra dagliglivet.
- Bygge opp et slott ved å brette kartong til koner og sylindere i ulike størrelser. Måle og regne ut målestokk og tegne en plantegning.
- Ta utgangspunkt i møblene i et dukkehjem. Forstørr møblene ved å bygge med multilink klosser eller lignende. Regn ut skalaer av lengde, areal og volum. Når møblene er ferdige, kan elevene tegne en plantegning av hjemmet på papir i en viss målestokk.
- Konturtegning - overføre til 3-dimensonal form. Forminske og forstørre i harde eller plastiske materialer. Enkle geometriske former eller egen kropp.
- Lage skulptur og arkitektur i snø ved hjelp av modulkasser. (Se Form nr.2- 2001)

Eksempler på 2-dimensjonale aktiviteter:
- Samle på like og ulike former, sortere og lage utstilling med dem.
- Form i nærmiljøet - tegne hus, biler osv.
- Form i naturen - tegne ting man ser i naturen - snegler, fjær, kongler, blomster, insekter og sammenligne med grunnformer.
- Arbeide med plast eller papir - lage mønster med grunnformer.
- Lage konturtegninger rundt medelever og enkle gjenstander for å oppnå bevissthet rundt målestokken 1:1 Man kan bruke eksemplene til målinger og lage en utstilling der tegningene og gjenstandene står side ved side for å sammenligne resultatene.
- I forbindelse med øvelse av forstørring kan elevene tegne konturlinjer rundt enkle former, måle dem og multiplisere målene med to, for så forstørre tegningene med målestokken 2:1. Det motsatte gjelder forminskningen der målestokken blir 1:2. Man kan benytte ruteark eller millimeterpapir.
- Besøke en billedkunstner eller et arkitektkontor og erfare hvordan de arbeider med forminskning i fremstillingen av virkeligheten ved bruk av skisser, arkitekttegninger og modeller. Lage arbeidstegning som skal gjengi hus og bygninger i målestokk 1:100. Øve seg i å velge og bruke enheter for lengde, areal og volum og trene på å gjøre anslag om slike størrelser i situasjoner fra dagliglivet.
- Forstørre og forminske bilder med hjelp av ruter og lage seriebilder på veggen i enorm størrelse.
- Manipulere et ferdig bilde til et surrealistisk kunstverk. Forstørre en viss del av bildet slik at størrelsesforholdene ikke blir de samme i alle deler av bildet.